Финансовый анализ и инвестиционная оценка предприятия. Улыбка волатильности — что это такое? Об искривлениях «Улыбки волатильности»

Структурированный продукт (англ. structured product) – сложный комплексный финансовый инструмент, финансовая стратегия, базирующаяся на более простых базовых финансовых инструментах.
Более простой вариант - "структурный продукт"
Для торговли улыбкой волатильности именно такие продукты и нужны- базирующие на более простых инструментах.
Сама по себе улыбка волатильности является характеристикой структуры подразумеваемой волатильности(IV) и отдельно не торгуется.
В чем природа "улыбки волатильности"?
IV опциона вне денег составляет ту величину, которая будет при падении рынка до уровня опциона. Например, при значении SPX 1379 на закрытие 9 ноября IV опциона на рынке 1375 put Jan = 18.6%, а опциона 1200 put Jan=25.3%, 1000 put Jan=33.1% и т.д
Т.е если рынок падает до значения 1000, то волатильность базового актива вырастет по прогнозу до 33.1.Даже навскидку по истории SPX можно увидеть, что летом 2011(не говоря о 2008) при падении до 1100 историческая волатильность выросла до 40%. При падении до 1000 можно смело добавить еще процентов 10%.
Их этого примера можно сформулировать вопрос в более простой форме- Какова будет скорость мяча, пущенного с горы, когда он докатится до ее основания? Ответ понятен- надо знать длину склона и угол наклона.Для рынка это означает знать а)сколько будет продолжаться падение по времени б) с какой интенсивностью. Ни а) ни б) точно знать никто не может(мы исходим их этого предположения), но тем не менее IV(скорость мячей) опционам присваивают.Присваивают на основании предыдущей ближней истории - как долго и с каким наклоном.
Во-1, такая методика спорна, во-2, единой методики оценки нет(какой период брать)
Отсюда вывод, который можно использовать практически. Улыбки волатильности будут колебаться и искать свое справедливое место.
Если взять группу связанных активов, то можно использовать то обстоятельство, что одни улыбки волатильности отстают, другие напротив обгоняют.
Например, самая большая группа активов, связанных с самим SP500- тут и ETF и ETN и furures -SRS,UPRO,SSO,SPXU,VIX,VXX,VIXM... всего не менее двадцати производных с опционами по отношению к SPX
Плюс еще два-три десятка на подобные индексы-Nasdaq,Dow,Russel
Все это множество производных имеет разные IV и разные улыбки волатильности, которые двигаются с разной скоростью(скорость, меняющая кривизну волатильности) и позволяет составлять более сложные продукты из более простых- продавать улыбку волатильности и страховать ее купленной улыбкой волатильности.
Возможные опционные техники по улыбке- покупка /продажа одиночного опциона, покупка/продажа вертикального спреда, покупка /продажа рэтио спреда, покупка/продажа опционной змеи и плюс перекрестные варианты между этими техниками.
Например, улыбки волатильности БА из группы производных по SP500
1 вариант по VIХ, 2 по SDS
VIX имеет интересную особенность- рынок знает, что он не может расти бесконечно и поэтому эта "сила притяжения" притягивает и улыбку волатильности

Совмещение одного с другим позволяет получить картину графика прибыли/убытков похожего на бесплатный опцион пут

Все это изобилие возможных инструментов и техник позволяет открыть новую линию- построение структурных продуктов для институциональных инвесторов. Доходность не столь высокая, но и рыночные риски можно минимизировать до нуля. 15-20% годовых с практически нулевым рыночным риском несколько предпочтительнее, чем 3-4% годовых на депозите

Продолжаем рассматривать алгоритмы построения улыбки волатильности. В этой статье будем находить "справедливые" цены опционов при помощи модели Хестона, которая относится к так называемым моделям стохастической волатильности. Хестон предложил использовать в качестве модели базового актива систему следующих уравнений:

где - цена и волатильность базового актива соответственно, - случайные броуновские процессы с корреляцией . - это квадратичный процесс с возвратом к среднему (mean reverting) со средним значением и интенсивностью k. - среднеквадратичное отклонение волатильности, r - безрисковая ставка (для маржируемых равна 0, поэтому исключим сразу этот параметр для российского рынка).

Реальное статистическое распределение приращений цен базового актива плохо соответствует Гауссовскому распределению, на основе которого была получена формула Блэка-Шоулза. Модель Хестона может описывать разные стат. распределения, например, коэффициент может быть интерпретирован как корелляция между логарифмом приращения цены и волатильностью актива, что позволяет учитывать эффект "толстых хвостов" распределения. График плотности распределения приращения цены с разными значениями приведен в заглавии поста.

Цена европейского колл опциона для модели Хестона вычисляется по формуле:

Где

для j=1,2, где

Этот набор формул кажется сложным, однако решить их достаточно просто с помощью программы на C#, которая будет приведена ниже. Сложность составляет только вычисление интеграла с верхним бесконечным пределом в формуле для , который находится с помощью числового метода Гаусса-Лагендре в той же программе. Также, для упрощения, можно сократить число параметров, убрав из них меру риска , применив риск-нейтральный подход. В этом случае:

Функция расчета формулы Хестона на языке C#:

//a-нижний предел интеграла (равен 0) //b - верхний предел интеграла. Выбирается значение от 100 до 200, в зависимости от нужной точности //delta - вычисляется грек дельта, который равен значению Р1 в формуле Хестона double HestonCallGaussLegendre(double S,double K,double T,double r,double kappa,double theta, double sigma,double lambda,double v0,double rho,int trap, double a, double b,ref double delta) { // Числовое интегрирование double int1=new double; double int2 = new double; double y; for (int k=0; k< =31; k++) { y = (a + b) / 2.0 + (b - a) / 2.0 * X[k]; int1[k] = W[k]*HestonCF(y,S,K,r,T,rho,kappa,theta,lambda,sigma,v0,1,trap); int2[k] = W[k]*HestonCF(y,S,K,r,T,rho,kappa,theta,lambda,sigma,v0,2,trap); } // Векторы для интегральной суммы double I1 = VectorSum(int1); double I2 = VectorSum(int2); // Определение Р1 и Р2 double P1 = 0.5 + 1.0/Math.PI*I1*(b-a)/2; double P2 = 0.5 + 1.0/Math.PI*I2*(b-a)/2; delta = P1; // Цена колл опциона return S*P1 - K*P2; } // Функция суммирования элементов вектора double VectorSum(double A) { double sum = 0; double n = A.Length; for (int i = 0; i <= n - 1; i++) sum += A[i]; return sum; } private double HestonCF(Complex phi, double Spot, double Strike, double Rate, double T, double Rho, double Kappa, double Theta, double Lambda, double Sigma, double V, int Pnum, int trap) { Complex S=new Complex(Spot , 0.0); // Цена базового актива Complex K=new Complex(Strike, 0.0); // Страйк Complex r=new Complex(Rate , 0.0); // Безрисковая ставка (для марж. опционов =0) Complex tau=new Complex(T , 0.0); // Период до экспирации в долях года Complex i=new Complex(0.0 , 1.0); // Мнимая переменная Complex rho=new Complex(Rho , 0.0); // Параметр Хестона: Корреляция Complex kappa = new Complex(Kappa, 0.0); // Параметр Хестона: Скорость возврата Complex theta = new Complex(Theta, 0.0); // Параметр Хестона: уровень возвратности Complex lambda = new Complex(Lambda, 0.0); // Параметр Хестона: мера риска (равна 0 для риск-нейтрального подхода) Complex sigma = new Complex(Sigma, 0.0); // Параметр Хестона: Среднеквадратичное волатильности Complex v0 = new Complex(V, 0.0); // Параметр Хестона: Текущая волатильность Complex two=new Complex(2.0 , 0.0); // число 2 в комплексной форме Complex one = new Complex(1.0, 0.0); // число 1 в комплексной форме Complex y, a, u, b, sigma2, d, g, G, C, D, c, f; y = rho*sigma*phi*i; a = kappa*theta; if (Pnum==1) { // Первая характеристическая функция u = 0.5; b = kappa + lambda - rho*sigma; } else { // Вторая характеристическая функция u = -0.5; b = kappa + lambda; } sigma2 = Complex.Pow(sigma,2); d = Complex.Sqrt((y-b)*(y-b) - sigma2*(two*u*phi*i - phi*phi)); g = (b - y + d)/(b - y - d); if (trap==1) { // Версия модели "Little Heston Trap" c = one/g; G = (one - c*Complex.Exp(-d*tau))/(one - c); C = r*i*phi*tau + a/sigma2*((b - rho*sigma*i*phi - d)*tau - two*Complex.Log(G)); D = (b - rho * sigma * i * phi - d) / sigma2 * ((one - Complex.Exp(-d * tau)) / (one - c * Complex.Exp(-d * tau))); } else { // Оригинальный вариант Хестона G = (one - g * Complex.Exp(d * tau)) / (one - g); C = r*i*phi*tau + a/sigma2*((b - rho*sigma*i*phi + d)*tau - two*Complex.Log(G)); D = (b - rho * sigma * i * phi + d) / sigma2 * ((one - Complex.Exp(d * tau)) / (one - g * Complex.Exp(d * tau))); } f = Complex.Exp(C + D*v0 + i*phi*Complex.Log(S)); // Вычисление реальной части подинтегрального выражения return (Complex.Exp(-i*phi*Complex.Log(K))*f/i/phi).Real; }

Следующий шаг - определение пяти параметров (V - текущая волатильность). Для этого нужно откалибровать модель по наблюдаемым рыночным ценам опционов. Применяем стандартный метод - берем выборку цен для опционов разных страйков за определенный период времени (вместе со сроками до экспирации), при этом рыночной ценой опциона считаем среднюю цену между бидом и аском ( , и минимизируем следующее выражение, применяя нелинейный метод наименьших квадратов (МНК):

где - вектор параметров, - задаваемые веса (их выбор обсудим позже), N - размер выборки. Выражение в правой части означает,что полученные значения должны попадать в промежуток между бидом и аском наблюдаемых рыночных цен. Это ограничение, равно как и условие MathJax_Preview"> , останавливается и выдает не оптимальные значения. Таким образом, нахождение оптимальных параметров модели Хестона является нетривиальной задачей, и применяются следующие способы ее решения:

Веса можно задать в соответствии с формулой: . Это интуитивный выбор, основанный на том, что, чем шире спред, тем больше свобода выбора в значении цены опциона. Для российского рынка лучшая аппроксимация получалась у меня при выборе одинакового значения весов, равного 1, но я не брал в рассмотрение слишком дальние страйки.

Получив параметры модели Хестона, мы сможем вычислить цены опционов для любого страйка и периода до экспирации. Для наглядности мы сможем построить улыбку волатильности по значениям подразумеваемой волатильности из формулы Блэка-Шоулза, подставив в нее хестоновские цены опционов - см. график в начале поста.

Модель Хестона отражает реальное статистическое распределение приращений цены базового актива значительно лучше, чем это делает модель Блэка-Шоулза, в чем вы сможете убедиться, сравнивая реальные рыночные цены опционов с полученными по этой модели. Однако у нее есть один существенный недостаток, который проявляется в том, что, если до экспирации остается небольшой срок (около недели для российского рынка) цены крайних страйков модель определяет неверно, в терминах подразумеваемой волатильности - хвосты улыбки начинают расходиться:

Чтобы устранить этот недостаток мы должны перейти к применению модифицированной модели Хестона - модели Бэйтса, являющейся одной из лучших аппроксимаций, позволяющих с макимальной точностью находить "справедливые" цены опционов. Ее мы рассмотрим в следующей части цикла статей про улыбку волатильности.

Под таким красивым понятием, как улыбка волатильности, понимается закономерность, характерная для большинства опционов.

А именно: ожидаемая волатильность по опционам по одному активу, но с разными страйками, в большинстве случаев может быть выражена в виде дуги, центр которой смещён книзу. Другими словами, чем дальше цена исполнения отличается от текущей рыночной цены, тем больше волатильность.

Разъясним понятия:

Ожидаемая (вменённая) волатильность — отражает ожидания рынка по поводу изменения цены конкретного базового актива в будущем.

Страйк – цена исполнения, по которой опцион будет (или не будет) реализован покупателем.
Всё сказанное выше сводится к одному тезису: чем больше отклонение страйка опциона от текущей рыночной цены данного актива, тем больше неуверенность рынка относительно того, что цена на момент исполнения достигнет этого значения (что вполне объяснимо). И тем больше риск, что на момент исполнения опциона цена не позволит получить по нему прибыль.

Последнее касается как покупателей опционов, прибыль которых заключена в движении цены в нужном им направлении, так и для продавцов, которые желали бы, чтобы покупатель не стал использовать своё право, так как это лишит их премии.

Об искривлениях «Улыбки волатильности»

Если посмотреть на графики, то можно заметить, что «Улыбка» получается, как правило, совсем не ровная, её правый край поднят значительно меньше, чем нижний. Это является графическим отображением ещё одной весьма важной тенденции, которая в простых словах выражается так:

Риск внезапного падения цены актива всегда намного выше, чем риск внезапного роста.

Именно по этой причине левая часть графика (которая означает повышение цены актива) стремится вверх далеко не так быстро, как правая.

Подчеркнём, что таким образом «Улыбка волатильности» в основном выглядит для графиков, отображающих опционную волатильность по акциям и другим фондовым активам.

Для любой акции всегда есть риск внезапного падения ее стоимости – например, если компания, выпустившая эту акцию, потерпит крах. Расстояние от нуля до текущей цены акции и является тем максимальным расстоянием, которое она может преодолеть. Представить, что цена акции внезапно сделает такой же ход в сторону роста, очень сложно, потому что трудно придумать событие, способное вызвать такое развитие событий.

В целом график «Улыбка волатильности» означает, что продажа опционов Put почти всегда выгоднее, чем продажа опционов Call, с покупкой же всё обстоит ровно наоборот.

Если вы слышали выражение «торговля волатильностью», то вы не ослышались. Такой способ извлечения прибыли применяется на операциях с опционами. Я предполагаю, что читатель располагает минимально необходимым объемом знаний о них и представляет, что опцион - это контракт, дающий право, но не обязывающий купить или продать определенный актив по заранее установленной цене - цене страйк. По своей сути, это сделка, где две стороны заключают пари, что некоторый актив через определенное время будет стоить больше или меньше установленной заранее цены.

Опцион, дающий право купить актив, называется опционом «колл» (call), а право продать - опционом «пут» (put). Покупатель опциона может не требовать исполнения своего права по нему, если это невыгодно, в то время как продавец обязан исполнить требование покупателя. За свое право последний выплачивает продавцу премию, размер которой зависит от вероятности достижения базовым активом цены страйк. Эта премия - и есть цена опциона, определяемая в процессе торгов. Таким образом, убытки покупателя и доход продавца всегда ограничены премией. Поэтому зачастую опционы используют для хеджирования (страхования) открытых позиций по какому-либо активу.

Но есть круг инвесторов и трейдеров, которые зарабатывают деньги на операциях с опционами, их и называют «торговцами волатильностью». Давайте попробуем разобраться, почему их так называют и сложно ли самому торговать волатильностью.

Стоимость опциона и волатильность

Важным фактором, влияющим на цену опциона, является волатильность базового актива. Волатильность, или стандартное отклонение в терминологии математической статистики, является мерой изменчивости базового актива, то есть силы его ценовых колебаний. Более сильные исторические колебания цены актива дают большие значения волатильности. Как правило, ее рассчитывают на основе исторических временных рядов как среднеквадратичное отклонение. Рассчитанная таким способом волатильность называется исторической (historical volatility).

Разработано множество моделей определения взаимозависимости цены опциона и волатильности актива, но наиболее популярной является формула Блэка-Шоулза . Данная модель позволяет определить теоретическую стоимость опциона по исходным данным: цене базового актива и волатильности, цене страйк и времени до экспирации (даты истечения опциона), процентной ставке на денежном рынке и дивидендам по акции. Определить цену опциона исходя из данных параметров достаточно просто, реализовав эту формулу в электронных таблицах или воспользовавшись опционным калькулятором, коих можно найти великое множество в интернете.

По существу самое большое влияние на цену опциона оказывают два параметра: цена страйк (цена исполнения) и волатильность. Поэтому если вы, например, предполагаете, что цена акции не сильно изменится в течение небольшого периода времени, но будет колебаться с возрастающей силой, то, купив опцион, вы сможете продать его дороже. Чем больше волатильность, тем дороже опцион (выше премия), и наоборот. Эту взаимосвязь и используют торговцы волатильностью.

Получается, что, приобретая опцион, вы делаете ставки либо на то, что цена акции, которая лежит в основе контракта, вырастет или упадет, либо на изменение волатильности. При этом вы всегда знаете максимальный размер убытка, который ограничен премией опциона (это правило для покупателя), в отличие от простой покупки акции, когда заранее оценить потенциально возможные убытки проблематично.

На первый взгляд все достаточно просто, и нет никакого волшебства. Но все же есть несколько нюансов, которые необходимо учитывать при операциях с опционами. Остановимся на них чуть подробнее, чтобы не совершать непоправимых ошибок.

Фактическая волатильность

В торговле волатильностью необходимо учитывать, что при операциях с опционами на биржевых площадках рыночные игроки закладывают некоторые поправки при оценке волатильности в зависимости от того, насколько текущая цена акции отличается от цены исполнения.

В формулах для теоретической стоимости опционов часто используется историческая волатильность, которая предполагается одинаковой для всех значений страйков и рассчитывается как сила исторических колебаний акции. Если в этом случае изобразить график зависимости волатильности опционов одной серии от цены страйк при фиксированной цене базового актива, то он будет представлять собой горизонтальную прямую. На практике же волатильность, которую рыночные игроки закладывают в цену опционов, не совпадает с теоретической. Такая волатильность называется подразумеваемой (implied volatility). В результате при изображении сложившихся на торгах цен опционов и соответствующей им подразумеваемой волатильности на графике можно увидеть так называемую улыбку волатильности (volatility smile) (см. график 1 ).

Такая форма кривой имеет простое объяснение: дело в том, что фактическое распределение дневных изменений цены отличается от принятого в теории. Это в первую очередь связано с некоторыми свойствами реальных изменений цен акций, где вероятность резких движений базового актива гораздо выше, чем при теоретическом логнормальном. Как следствие, опционы «глубоко вне денег» (страйк находится далеко от текущей цены, и премия по нему очень низкая) имеют более высокую подразумеваемую волатильность, а соответственно, и цену выше, чем теоретическая. То есть продавцы опционов учитывают более высокую вероятность существенных колебаний по сравнению с логнормальным распределением, которая для них может быть сопряжена со значительными и даже, возможно, необратимыми убытками, что особенно характерно для опционов «глубоко вне денег». Поэтому продавцы увеличивают цену продажи этих опционов по сравнению с теоретическими, от которых реальные значения могут отличаться в несколько раз, как в денежном выражении, так и в значениях волатильности.

Заметим, что в торговых программах и платформах нет необходимости заниматься расчетами и оценками, а можно настроить параметры таким образом, чтобы видеть предполагаемую волатильность по реальным сделкам с опционами.

Ухмылка волатильности

Но большее значение для рыночных игроков имеет не «улыбка волатильности», а ситуации, когда кривая становится несимметричной. В случаях, когда асимметрия кривой становится заметной, улыбку принято называть «ухмылкой волатильности» (volatility smirk). Наклон края улыбки называется «наклоном» или «перекосом волатильности» (volatility skew). Если на графике присутствует «ухмылка», это может говорить о наличии повышенного риска движения цены базового актива в определенном направлении, а величина наклона кривой - частично о силе таких ожиданий.

Такая ситуация возникает тогда, когда рынок «предполагает», что в одном из направлений возможно более значительное и резкое изменение цены базисного актива, чем в другом, либо большая часть игроков страхуется от движения цены актива в данном направлении. То есть рыночные игроки ожидают большего движения котировок в ту сторону, в которую смещена улыбка. Например, если ожидается резкое падение цены, то подразумеваемая волатильность опционов «пут» «вне денег» будет больше, чем у опционов «колл» «вне денег», чьи страйки симметрично расположены по отношению к центральному, а это приводит к приподнятости левой ветви кривой по отношению к правой, то есть мы видим на графике «левую ухмылку». Такую форму «улыбки волатильности» можно наблюдать большую часть времени - особенно ярко данный эффект наблюдается после периодов обвальных падений, таких как прошедший финансовый кризис.

Причиной такой формы является «крахофобия» трейдеров и инвесторов, у которых свежа память о последнем обвале, что и отражается в цене «путов» «глубоко вне денег». Таким образом, в посткризисные периоды стоит обращать внимание на наклон «ухмылки волатильности», который и будет сигнализировать об изменении ожиданий рыночных игроков. И важным показателем становится перекос или скручивание «ухмылки волатильности» в периоды после обвальных падений.

В качестве примера возьмем (см. график 2 ) кривые волатильности для опционов на индекс РТС с разными сроками исполнения (12 и 74 дня). График построен на основе данных на конец дня 2 июля 2009 года по результатам торгов на рынке FORTS, и мы видим на нем «ухмылку волатильности» с большим наклоном.

Стратегии торговли

В заключение рассмотрим два небольших примера, иллюстрирующих, как можно было заработать на операциях с опционами и торговле волатильностью.

Перенесемся в август 2008 года, когда индекс РТС завис над пропастью перед обвалом фондовых рынков. Остановимся на двух стратегиях с использованием опционов, которые могли принести существенную прибыль.

Первая - одна из самых популярных стратегий - покупка опциона «пут». По своей сути это ставка на то, что базовый актив (в нашем случае индекс РТС) снизится. Убыток ограничен уплаченной премией и реализуется, если актив вырастет или не изменится в цене. Прибыль же неограниченна и реализуется, когда актив падает в цене. Она становится максимальной, если одновременно повышается волатильность, что мы и наблюдали во второй половине 2008-го. Так, например, купив опцион «пут» на индекс РТС в середине августа 2008 года со сроком исполнения полтора-два месяца со страйком 100% рыночной цены, уже через месяц его можно было продать в четыре-пять раз дороже. Как видно, при таком подходе ставка делается не только на рост волатильности, но и важно угадать направление движения актива.

Поэтому рассмотрим вторую стратегию, которая позволяет не гадать с направлением движения рынка, а зарабатывать только на росте или уменьшении волатильности вне зависимости от направления движения базового актива. Она носит название «длинный стрэддл» (long straddle). Делая ставку на рост волатильности, вы одновременно покупаете опцион «пут» и опцион «колл» с одинаковыми датами и ценами исполнения. В этом случае потенциальные убытки априори ограничены уплаченной премией по опционам, а в случае роста волатильности актива увеличивается и доход по данной позиции вне зависимости от того, растет сам базовый актив или падает. Опять же рассмотрим середину августа 2008 года. Даже если бы вы не были уверены, что падение индекса РТС продолжится, то, следуя данной стратегии, могли бы заработать сотни процентов годовых, так как в последующие месяцы волатильность существенно выросла, увеличив стоимость опционов в разы (см. график 3 ).

Отмечу, конечно, что в данной статье не удалось рассмотреть подробно все возможности и преимущества, которые предоставляют операции на рынке производных инструментов. Но главной задачей было не погружение в теорию вероятности и сложные формулы расчета различных стратегий с использованием опционов, а удовлетворение любопытства читателей к данному рынку и существующим возможностям, которые часто для понимания и реализации выглядят сложнее, чем оказываются на деле.

От редактора

Опцион Насреддина

Несколько лет назад я прочитал статью Олега Коньшина, который когда-то работал в «Финаме», а затем управляющим активами в «Солиде». Тогда я хорошо запомнил, что такое страйк, что такое опцион «вне денег», и решил привести фрагмент этой статьи, опубликованной в журнале РЦБ. Я готов поспорить, что и через 50 лет вы будете помнить, что такое страйк, и готов продать на это событие опцион совсем недорого. Скажем, за $100.

«Суть опционной торговли наиболее ярко представлена в известном историческом анекдоте. Хитроумный герой народного эпоса Ходжа Насреддин, прогуливаясь по рыночной площади, во всеуслышание заявил, что за соответствующую плату может даже животное научить говорить человеческим языком. Падишах, удивленный подобной самоуверенностью, предложил Ходже на практике доказать правоту своих слов - научить говорить осла.

Ходжа Насреддин с готовностью согласился, но при этом заметил, что, поскольку осел отличается исключительной тупостью, то, во-первых, Падишаху придется заплатить много денег, а во-вторых, сам процесс обучения займет много времени - не менее 20 лет. Падишах принял условия, но обещал казнить незадачливого учителя в случае неудачи. Друзья не без основания заподозрили Насреддина в слабоумии. Сам же он чувствовал себя бодро и уверенно, наслаждаясь жизнью на полученные деньги. На недоуменные вопросы, что же он собирается делать, Ходжа мудро отвечал: “Ничего, так как через 20 лет либо Падишах помрет, либо осел”.

На примере этого анекдота можно выделить основные компоненты опционного договора (от англ. option - “выбор”): предмет договора (так называемый страйк) - говорящий осел; Падишах, заплатив премию, получил право требовать исполнения договора через 20 лет; Ходжа Насреддин реализовал мечту любого продавца опциона - получил премию по заведомо нереализуемому страйку (так называемый опцион вне денег). Время - дополнительный участник в споре опционных контрагентов, и именно его взял себе в союзники мудрец».

Реальная динамика цен на акции и другие активы, которые могут выступать в качестве базовых активов для опционов, отличается от динамики, описываемой уравнением геометрического броуновского движения.

Данный факт говорит о неполной адекватности модели ценообразования Блэка-Шоулза и полученных из неё на тех же самых предположениях математических моделей. Но тем не менее, модель Блэка-Шоулза остаётся весьма популярной, что в основном объясняется простотой её применения.

В качестве одной из серьёзных проблем при использовании на практике модели Блэка-Шоулза можно выделить определение волатильности. Неоднозначность состоит в том, что волатильность , в отличие от других параметров модели Блэка-Шоулза (цена исполнения, период до погашения, ставка дисконта (безрисковая ставка), цена базового актива), является рассчитываемой величиной, т.е. в явном виде она не присутствует на рынке (не торгуется). В настоящее время появляются инструменты (например, использование дельта-нейтральной конструкции опционного портфеля, не зависящего от изменения цены базового актива, так называемая торговля волатильностью), которые, можно сказать, позволяют рассматривать волатильность некоторого актива как самостоятельную единицу, благодаря чему в будущем, возможно, указанная неоднозначность модели Блэка-Шоулза будет устранена.

Оценка исторической волатильности доходности базового актива может не совпадать с подразумеваемой (implied) волатильностью (стандартное отклонение доходности базиса, соответствующее определённой рыночной цене опциона по некоторой модели ценообразования, например, модели Блэка-Шоулза).

Например, кривые исторической волатильности фьючерса на индекс РТС, построенные с помощью простой скользящей средней (MA 20) и экспоненциальной скользящей средней (EWMA), и кривая подразумеваемой (implied) волатильности, которая вычисляется из цен опционов на фьючерс индекса РТС.

На рисунке видно, что динамика кривой подразумеваемой волатильности в целом повторяет динамику исторических оценок волатильности, но существует отрезок времени, в течение которого динамика исторической и подразумеваемой волатильности противоположна.

Кроме того, при реальной торговле на срочном рынке выясняется, что сама подразумеваемая волатильность для опционов, отличающихся только величинами страйков будет различаться. Данный эффект называется . Проявление эффекта улыбки волатильности свидетельствует о том, что будущее распределение вероятности для цены базового актива не будет являться логнормальным. Приведём примеры подобного эффекта на российском фондовом рынке на примере опционов на фьючерсы Газпрома.

Укрупнённо:

Цена базового актива на 06.02.06, т.е фьючерса на акции Газпрома, составляют 22400 р. Показанное на графике искривление волатильности говорит о том, что модель Блэка-Шоулза недооценивает опционы в деньгах и без денег (естественно, если исходить из предположения, что опционы около денег оценены верно). Поэтому опционы со страйками 21500 и 22500 р. оценены рынком дороже, чем оценка по модели Блэка-Шоулза.

Существуют и другие модификации эффекта «улыбки волатильности». Наиболее часто встречающиеся из них следующие: когда рынок оценивает опционы в деньгах дороже, чем опционы без денег, и обратная ситуация - рынок рынок дороже оценивает опционы без денег. Подобные ситуации иногда называют «ухмылка волатильности» (volatility smirk) , так как график становится несимметричен относительно области текущего значения базового актива. Данный эффект можно учитывать при прогнозировании направления движения котировок базового актива опциона в будущем. Если общий наклон кривой подразумеваемой волатильности отрицательный (как в приведённом примере с опционами на фьючерсы акций Газпрома), то ожидания того, что цены будут снижаться больше. Если же общий наклон кривой положительный, то трейдеры ожидают повышения цен на базовый актив.

Таким образом, при решении задачи ценообразования опциона необходимо учитывать и закладывать в модель подобные эффекты, наблюдаемые при функционировании реального рынка.

Существуют различные модели, позволяющие учитывать рассмотренные эффекты, но тем не менее, на практике часто обходятся моделью Блэка-Шоулза, осуществляя её дополнение с учётом исторического поведения подразумеваемой волатильности.

Дополнение заключается в построении таблицы следующего вида:

Таблица подразумеваемых волатильностей

В этой таблице приведены значения подразумеваемых волатильностей опционов с различными периодами до исполнения и различнми страйками. ATM – at the money - опцион около денег

Рассматривается 4 состояния:

(ATM – 2 SD) - опцион со страйком, меньшим на 2 стандартных отклонения страйка опциона около денег;

(ATM – 1 SD) - опцион со страйком, меньшим на 2 стандартных отклонения страйка опциона около денег;

(ATM + 1 SD) - опцион со страйком, превышающим страйк опциона около денег на 1 стандартное отклонение;

(ATM – 1 SD) - опцион со страйком, превышающим страйк опциона около денег на 1 стандартное отклонение.

Интерполяция (например, линейная) между определёнными значениями данной таблицы позволяет учитывать эффект искривления, не усложняя при этом саму модель Блэка-Шоулза. Так, например, годовая волатильность девятимесячного опциона, со страйком на 2 стандартных отклонения ниже страйка опциона около денег составит (33,6% + 32,5%)/2 = 33,05%.

Причины описанных эффектов могут объясняться воздействием спроса и предложения на опционы со стороны крупных участников срочного рынка. Например, крупный хедж фонд, обладающий длинными позициями в акциях различных эмитентов, может пытаться заработать дополнительную прибыль, продавая опционы колл без денег на акции этих эмитентов. Таким образом, фонд будет способствовать снижению цены продаваемых опционов, что в свою очередь приведёт к снижению подразумеваемой волатильности у этих опционов.

Для валютных опционов более характерен эффект именно «улыбки волатильности», а не «ухмылки волатильности» (в отличие от опционов на фьючерсы акций), что указывает на то, что трейдеры практически одинаково страхуются как от повышения, так и от понижения курса валютной пары. В сравнении с логнормальным распределением распределение вероятности курса валютных пар характеризуется более тяжелыми (толстыми) хвостами и более острой вершиной улыбки. Это может свидетельствовать о том, что участниками рынка в большей степени ожидают либо сильные, либо слабые изменения валютного курса, нежели среднюю амплитуду колебаний. Подобный вид графика, отображающего улыбку волатильности валютного опциона, можно объяснить валютными интервенциями центрального банка страны, поддерживающего стабильность своей валюты, вследствие чего существует высокая вероятность либо стабильности валютной пары, либо значительного отклонения (в случае безуспешного воздействия ЦБ на давление трейдеров).